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KW25: Arbeitsauftrag Trigonometrie

Lies den folgenden Text. Die Arbeitsaufträge stehen ganz unten.


Wir widmen uns ab dieser Woche dem letzten Thema für dieses Schuljahr, den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, und Tangens. Dazu kann euch außer dem Buch (S. 227 ff.) auch das folgende Material behilflich sein


Hintergrundinformation: Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen.

  • τρίγωνον trígonon ‚Dreieck‘ und
  • μέτρον métron ‚Maß‘

Es gilt, in den letzten Wochen des Schuljahres noch das Folgende zu lernen:

  • KW25
    • Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck (Dreiecks
    • Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens
    • Darstellung von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und Rechnen im Bogenmaß
    • Definitionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
    • Eigenschaften der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
  • KW26
    • Modifikationen der Sinus- und Kosinusfunktion (Verschiebung, Skalierung, Periodendauer)
  • KW27
    • Ableitung von Sinus und Kosinus
    • Wiederholung Ketten- und Produktregel

Für diese Woche ist der Arbeitsauftrag, auf den Seiten 228 bis 231 alle Aufgaben zu bearbeiten.

Ich werde mich in den letzten Wochen komplett an das Buch halten.

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KW24: Produkt- und Kettenregel

Diese Woche ist es eure Aufgabe, die Anwendung der Ketten- und die Produktregel zu lernen. Zur Erinnerung:

Für eine Funktion $f$, die als Verkettung $f(x) = a(i(x))$ einer inneren Funktion $i$ mit Funktionsgleichung $i(x)=y$ und einer äußeren Funktion $a$ mit Funktionsterm $a(y)$ geschrieben werden kann, gilt

\begin{align*}
f(x) &= a(i(x)) \\
f'(x) &= a'(y) \cdot i'(x).
\end{align*}

Für eine Funktion $f$, die als Produkt $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ geschrieben werden kann, gilt

\begin{align*}
f(x) &= g(x) \cdot h(x) \\
f'(x) &= g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x).
\end{align*}

Dazu gelten folgende Aufgaben:

  • Bearbeite auf Seite 252 alle Übungen, wobei ihr alles mit Sinus und Kosinus weglassen dürft.
  • Bearbeite auf Seite 258 Übung 14.
  • Bearbeite auf Seite 262 Übung 5.

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KW23: Test zur Erhebung des Lernstandes

Den folgenden Auftrag sollst du nur erledigen, wenn du in der letzten Unterrichtsstunde in Präsenz gefehlt hast. Drucke dir den Test aus (oder schreib die Aufgaben ab) und schicke mir deine Lösung per Email zu.

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Material KW22

  • Zusammenfassung Exponentialfunktionen und -Gleichungen (Logarithmen) / Kettenregel
  • ausgefüllte Version
  • Blütenaufgabe (die schwierigen Aufgaben sind für alle, die sich langweilen, während wir gerade irgendwie auf der Stelle treten.)
  • Lösung von Aufgabe 9 (exemplarisch für alle anderen Aufgaben)
    • Bei der Teilaufgabe e) sind die Zahlenwerte im Ergebnis und in der Probe falsch. Das richtige Ergebnis lautet $t=9,5$.
  • Lösung der Aufgaben von letzter Woche
  • Lösung von Aufgabe 20 auf Seite 259 (die Paradeaufgabe)

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Arbeitsauftrag KW21

Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht, in welchem Umfang ich den Umgang mit Exponentialgleichungen und der Kettenregel noch einmal wiederholen möchte. Es wird jetzt nötig sein, sich ordentlich reinzuknien, falls ihr das in den letzten Wochen nicht getan habt. Ich möchte nicht zulasten derjenigen, die engagiert gearbeitet haben die Zeit mit langen Wiederholungen verbringen.

Der Arbeitsauftrag bis zur nächsten Stunde lautet, das Arbeitsblatt, was ich verteilt habe, bis Dienstag vollständig zu bearbeiten. Ihr benötigt dafür den Umgang mit Exponentialfunktionen, Logarithmen und die Kettenregel.

Falls ihr eine Aufgabe nicht lösen könnt, schreibt auf

  • was euer Ansatz ist,
  • an welchem Schritt ihr nicht weiterkommt und
  • was das Problem ist, weshalb ihr nicht weiterkommt.

Falls ihr gar keinen Ansatz findet,

  • schreibt auf, was in der Aufgabe zu tun ist und
  • schreibt die Definitionen aller Begriffe auf, die in der Aufgabenstellung vorkommen.

Ich erwarte von jedem und jeder von euch, dass ihr zu jeder Aufgabe entweder die Lösung, den Ansatz und Grund, warum es nicht klappt oder die Beschreibung der Aufgabenstellung mit den Definitionen aufschreibt.

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Arbeitsauftrag KW19: Übungen zur Kettenregel, Produktregel

Die Arbeitsaufträge lauten:

  • Üben der Kettenregel (bis Mittwoch, 13.05.)
    • Seite 257 / 5, 8, 9b)
    • Seite 259 / 16 außer b) und c), 20
    • Seite 266 / 11
    • Seite 267 / 12, 13
  • Lernt die Produktregel! (bis Freitag, 15.05.)

Außerdem werden die Schulen wohl am 18. Mai schrittweise weiter geöffnet, wie ich gestern hier aus den Nachrichten erfahren habe. Mathe wird meiner Einschätzung nach stattfinden,

Ich bin selbst gespannt, wie das laufen wird, weil der Kurs bei der jetzigen Größe sicherlich aufgeteilt werden muss — wir werden sehen, wie das läuft.

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Beispiel zur Kettenregel

Gegeben sei die Funktion
$$f(x) = (3x^3-17x)^4.$$
Wir wollen die Ableitung $f'(x)$ finden, d.h. wir wollen
$\frac{d}{dx}f(x)$ finden (beide Notationen bedeuten das Gleiche!).

Wir schauen, ob $f$ eine verkettete Funktion ist. (Welche Bedingungen müssen wir überprüfen?)

Wir finden, dass $f$ in der Tat verkettet ist, weil wir eine Klammer haben, in dem ein $x$ enthalten ist und einen Exponenten außerhalb der Klammer.

Wir setzen als innere Funktion $g(x) = 3x^3-17x$ fest, weil es der Ausdruck in der Klammer ist.

Wir setzen als äußere Funktion $f(y) = y^4$ fest, weil wir so wieder auf die ursprüngliche Funktion kommen, wenn wir $y=g(x)$ setzen.

Wir berechnen jetzt die einzelnen Ableitungen:

$$\frac{df}{dy}(y) = 4 y^3 $$
und
$$\frac{dg}{dx}(x) = 9x^2 – 17 $$

Was jetzt kommt, ist einfach nur die Kettenregel. Die Zwischenschritte sind nicht notwendig und sollten uns nicht verunsichern! Wir erhalten

\begin{align}
f'(x) &= \frac{df}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} \frac{dg}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} g'(x) \\
&= 4y^3 \cdot (9x^2-17) \\
&= 4(3x^3-17x)^3\cdot (9x^2-17)
\end{align}

Das Ergebnis ist jetzt in keiner schönen Form und könnte theoretisch noch vereinfacht werden, indem wir ausmultiplizieren. Aber die Klammer hoch gibt einen massiven Ausdruck, der ganz und gar nicht schön zu berechnen ist, sondern viel Multiplikationen und Zusammenfassen einzelner Terme erfordert. Wir wissen mit Sicherheit, dass wir irgendetwas in der Form

$Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 + Ex + F $

für gewisse Zahlen $A,B,C,D,E und F$ erhalten werden (0 ist da auch möglich!). Wenn wir uns das vor Augen führen, kommen wir zu dem Schluss, dass wir uns mit dem Ergebnis
$$f'(x) = 4(3x^3-17x)^3\cdot (9x^2-17)$$
gut begnügen und es einfach so stehen lassen können.

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Arbeitsauftrag KW18: Verkettung von Funktionen

Das nächste Thema ist die Verkettung von Funktionen.


Zuerst gilt es zu verstehen, was eine zusammengesetzte, d.h. „verkettete“ Funktion ist. Dazu

  • lest Seite 250 im Buch und macht euch klar, was eine Verkettung von Funktionen ist und
  • bearbeitet Übung 1 und 2.

Nun gilt es zu verstehen, was das Problem bei verketteten Funktionen ist. Lies dazu den Abschnitt weiter unten, zieh das Buch zu Rate (S. 255 f.) oder nutze andere Quellen wie

und

  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck $f'(x)$ gemeint ist,
  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck $\frac{df}{dy}$ gemeint ist,
  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck die Funktion $f$ nach $x$ ableiten gemeint ist und löse
  • auf Seite 255 / Übung 1 außer c) und d)
  • auf Seite 256 / Übung 2 außer c).

Was ist das Problem bei verketteten Funktionen?

Wenn wir verstanden haben was eine verkettete Funktion ist, widmen wir uns dem Problem, die Ableitung einer Verkettung nach der ursprünglichen Variablen zu finden. Betrachten wir eine Verkettung von zwei Funktionen $f$ und $g$, dann können wir uns die Verkettung $f\big( g(x) \big)$ so vorstellen, dass $x$ zuerst in die Funktion $g$ eingesetzt und das Ergebnis $g(x)$ davon dann in die Funktion $f$ eingesetzt wird. In einem Diagramm können wir das so darstellen:

$$ x\xrightarrow{x \text{ in }g \text{ einsetzen }} g(x) \xrightarrow{g(x) \text{ in } f \text{ einsetzen }} f\big( g(x) \big)$$

Das „Problem“ ist jetzt, wenn wir die Ableitung von $f$ nach $x$ finden wollen, dass die Funktion $f$ als „mittlere Ebene“ dazwischen gestaltet ist — und das macht Dinge ein bisschen komplizierter. Was heißt es überhaupt, nach $x$ abzuleiten? Dazu mehr später.

Ein Beispiel macht das Problem hoffentlich deutlicher:

Nehmen wir als Funktionen $g$ und $f$ mal ganz konkret $$g(x) = 2x+1$$ und $$f(x) = x^2$$ an. Wichtig ist, dass das $x$, dass bei $g$ steht nicht unbedingt das $x$ ist, dass bei $f$ steht. Zur Hilfe können wir bei der äußeren Funktion $f$ die Variable $y$ benutzen, also
$$f(y) = y^2,$$
um die bisherige Konvention $y=g(x)$ beizubehalten. Das hilft, glaubt mir — auch wenn es komisch erscheint!
Dann ist $$y=g(x)= 2x+1$$ und $$f\big(g(x)\big) = f(y) = y^2 = (2x+1)^2.$$
Die Verlockung ist groß, jetzt zu sagen, dass die Ableitung
$$\underbrace{f'(y) = (y^2)‘ = (2x+1)^2 = 2\cdot(2x+1) = 4x + 2 }_{\text{Das ist FALSCH}}$$
ist. Warum das falsch ist, sehen wir später. Was ist, wenn wir erst ableiten, nachdem wir $y$ in $f$ eingesetzt haben? Dann ist das Ergebnis
$$ f'(y) = \big((2x+1)^2\big)‘ =(4x^2 + 4x + 1)‘ = 8x + 4. $$
Was stimmt jetzt? Was ist das richtige Ergebnis für $f’$ (Es ist die zweite Version!)? Wir haben zwei verschiedene Ergebnisse zur Auswahl und das kann nicht sein! Der Teufel steckt hier im Detail.

Es kommt unsere bisherige „faule“ Notation zum Tragen (ich hatte es im Unterricht schon einmal erwähnt). Es ist wichtig, nach welcher Variable wir ableiten (die steht dann im Nenner des Bruches $\frac{d}{dx}$). Wir können unserer bisherigen Ergebnisse präziser mit der Schreibweise $\frac{d}{d x}$ für die Ableitung nach $x$ ausdrücken. Wichtig ist: Unser üblicher Strich für die Ableitung steht ab jetzt immer für die Ableitung nach $x$. Das bedeutet, dass mit
$$g‘ = \frac{d}{dx}(g)$$
die Ableitung von $g$ nach $x$ und mit
$$\frac{d}{dy}(g) $$
gemeint ist. Wenn wir nach $y$ (oder $z$, oder $m$, …) ableiten wollen, können wir nicht die faule Strichnotation benutzen.

Damit schreiben wir unsere Ergebnisse zu
$$ \Big(\frac{d}{dy}f\Big) (y) = 2 y = 4x + 2, $$
und
$$ f'(x) = \Big(\frac{d}{dx}f\Big) (x) = \frac{d}{dx}\Big( f(y)\Big) = \frac{d}{dx}\Big( y^2\Big) = \frac{d}{dx}\Big( (2x+1)^2\Big) = \frac{d}{dx}\Big( 4x^2 + 4x + 1\Big) = 8x + 4$$
um (beachte die Klammern, die die Reihenfolge angeben!). Es gibt kein Problem mehr, denn wir haben ganz klar festgelegt, was der „Strich“ für die Ableitung bedeutet. Es bedeutet immer, dass wir nach $x$ ableiten. Für jede andere Variable $y$, $z$, $m$, $n$ verwenden wir ab jetzt die Schreibweise(n)
$$ \frac{d}{dy},\frac{d}{dz},\frac{d}{dm},\frac{d}{dn} $$
für die entsprechenden Ableitungen.

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Arbeitsauftrag KW16: Wiederholung zum Logarithmus

Heute gibt es erst einmal ein kurzes Aufwärmquiz nach den Ferien, dass ihr bis Ende der Woche bearbeiten sollt.

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Arbeitsauftrag KW14: Anwendung und Modellierung

Diese Woche soll es darum gehen, die gewonnenen Techniken rund um Exponentialfunktionen und Logarithmen anzuwenden. Der dazugehörige Auftrag lautet

  • auf Seite 226 im Buch alle Aufgaben zu lösen und
    (Lösungen auf Seite 361) und
  • den Text zur Modellierung mit ganzrationalen Funktionen zu lesen und die darin befindlichen Aufgaben zu lösen.

Die Abgabe erfolgt bitte per PDF hier.

Auf den Seiten 212 bis 215 sind typische Aufgaben zu den Exponentialfunktionen zum Üben. Du kannst mich jederzeit auch zu diesen Aufgaben oder anderen Matheaufgaben befragen.

Modellierung mit ganzrationalen Funktionen

Die folgende Aufgaben hat zwei Lernziele:

  • die näherungsweise Modellierung mit ganzrationalen Funktionen mit der Modellierung mit Exponentialfunktionen und die Vor-/Nachteile beider Varianten vergleichen und
  • Rekonstruktionen (vgl. Fluss-Straße-Bahn-Aufgabe der letzten Klausur) mit höheren Ableitungen wiederholen

In Aufgabe 1 auf auf Seite 221 zeigt in einer Tabelle den Verlauf eines Prozesses an. Zusätzlich ist die Differenz $\Delta y$ aufeinanderfolgender $y$-Werte und die zweite Differenz $\Delta(\Delta y)$ in der dritten und vierten Zeile ergänzt. Diese Differenzen ergeben sich immer aus der Zahl direkt oberhalb und der Zahl eine Position links oberhalb. Also $$\Delta y (1) = 3,60 – 3,00 = 0,6$$ oder $$\Delta^2 y(2) = 0,72-0,6 = 0,12$$

x 0 1 2 3 4 5 6
y 3,00 3,60 4,32 5,10 6,22 7,46 8,96
Δ y   0,6 0,72 0,78 1,12 1,24 1,5
Δ2 y     0,12 0,06 0,34 0,12 0,26
Δ3 y       -0,06      

WICHTIG: Wenn du das Zustandekommen der $\Delta$-Zeilen nicht verstehst, liegt das nicht an dir. Frag unbedingt bei mir (oder anderen) nach (https://chat.vdegner.de)! Es ist eigentlich einfach zu verstehen, aber umständlich aufzuschreiben.

Aufgabe 1: Berechne die Zeile $\Delta^3 y$, also die dritten Differenzen. Ein Beispiel ist in der dritten Spalte der Tabelle gegeben.

Diese Differenzen können wir als ungefähre Werte der ersten, zweiten und dritten Ableitung einer Funktion $f$ benutzen. So können wir eine Modellfunktion bestimmen, die den Verlauf des Prozesses näherungsweise beschreibt.

Aufgabe 2: Stelle einer ganzrationale Modellfunktion $f$ mit
$$ f(x) = a x^2 + bx + c$$
auf und bestimme die Parameter $a,b$ und $c$ so, dass die Funktion $f$ den Bedingungen
$\begin{align}
f(5) &= 7.46 \\
f'(5) &= 1.24 \\
f“(5) &= 0.12
\end{align}$
aus der Tabelle oben genügt.

Zur Kontrolle: $a=0.06, b=0.64, c=2.76$

Aufgabe 3: Zeichne die Punkte $(x \mid y)$ aus der Tabelle und den Graph von $f$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Tipp: Jetzt ist ein guter Zeitpunkt, sich mit dem Programm Geogebra auseinanderzusetzen. Ihr könnt es hier direkt im Browser benutzen.

Soweit so gut. Hier ist ein guter Punkt, um eine Pause einzulegen.

Was wohl geschehen mag, wenn wir unser Modell um einen Term mit $x^3$ erweitern? Anders gefragt: Was ändert sich am Modell, wenn wir stattdessen den Ansatz $$g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ verwenden?

Aufgabe 4: Beschreibe, welche Änderungen sich durch das Hinzufügen des zusätzlichen Terms deiner Meinung nach ergeben werden. Beschreibe auch, welche Änderungen am Graphen du erwartest.

Aufgabe 5: Bestimme jetzt die Parameter $a,b,c$ und $d$ für die Modellfunktion $g$ so, dass sie den Bedingungen

$\begin{align}
g(5) &= 7.46 \\
g'(5) &= 1.24 \\
g“(5) &= 0.12 \\
g^{“‘}(5) &= -0,22
\end{align}$
aus der Tabelle oben genügt.

Kontrolle ($a=-0.03666…, b=0.61, c=-2.11, d=7,343333…..$)

Aufgabe 6: Zeichne die Punkte $(x \mid y)$ aus der Tabelle sowie die Modellfunktionen $f$ und $g$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschreibe, inwiefern sich deine Erwartungen bestätigt haben oder vom Ergebnis abweichen.

Aufgabe 7 (freiwilliger Zusatz): Stell die passende Modellfunktion $$h(x) = ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx +e$$ auf, indem du die Parameter $a,b,c,d$ und $e$ aus der Tabelle und einer zusätzlichen Zeile $\Delta^4 y$ analog zu vorher bestimmst.

Aufgabe 8: Vergleiche die beiden Modelle mit dem Exponentialansatz aus Aufgabe 1 auf Seite 226, indem du alle Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnest.

  • Beschreibe Bereiche, in denen ein Modell den anderen klar überlegen ist, d.h. den Verlauf der Punkte $(x, \mid y)$ besser widergibt.
  • Erkläre Vor- und Nachteile des Exponentialmodells.
  • Erkläre Vor- und Nachteile der ganzrationalen Modelle.