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SJ1920-EM16

Beispiel zur Kettenregel

Gegeben sei die Funktion
$$f(x) = (3x^3-17x)^4.$$
Wir wollen die Ableitung $f'(x)$ finden, d.h. wir wollen
$\frac{d}{dx}f(x)$ finden (beide Notationen bedeuten das Gleiche!).

Wir schauen, ob $f$ eine verkettete Funktion ist. (Welche Bedingungen müssen wir überprüfen?)

Wir finden, dass $f$ in der Tat verkettet ist, weil wir eine Klammer haben, in dem ein $x$ enthalten ist und einen Exponenten außerhalb der Klammer.

Wir setzen als innere Funktion $g(x) = 3x^3-17x$ fest, weil es der Ausdruck in der Klammer ist.

Wir setzen als äußere Funktion $f(y) = y^4$ fest, weil wir so wieder auf die ursprüngliche Funktion kommen, wenn wir $y=g(x)$ setzen.

Wir berechnen jetzt die einzelnen Ableitungen:

$$\frac{df}{dy}(y) = 4 y^3 $$
und
$$\frac{dg}{dx}(x) = 9x^2 – 17 $$

Was jetzt kommt, ist einfach nur die Kettenregel. Die Zwischenschritte sind nicht notwendig und sollten uns nicht verunsichern! Wir erhalten

\begin{align}
f'(x) &= \frac{df}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} \frac{dg}{dx} (x) \\
&= \frac{df}{dy} g'(x) \\
&= 4y^3 \cdot (9x^2-17) \\
&= 4(3x^3-17x)^3\cdot (9x^2-17)
\end{align}

Das Ergebnis ist jetzt in keiner schönen Form und könnte theoretisch noch vereinfacht werden, indem wir ausmultiplizieren. Aber die Klammer hoch gibt einen massiven Ausdruck, der ganz und gar nicht schön zu berechnen ist, sondern viel Multiplikationen und Zusammenfassen einzelner Terme erfordert. Wir wissen mit Sicherheit, dass wir irgendetwas in der Form

$Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 + Ex + F $

für gewisse Zahlen $A,B,C,D,E und F$ erhalten werden (0 ist da auch möglich!). Wenn wir uns das vor Augen führen, kommen wir zu dem Schluss, dass wir uns mit dem Ergebnis
$$f'(x) = 4(3x^3-17x)^3\cdot (9x^2-17)$$
gut begnügen und es einfach so stehen lassen können.