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SJ1920-EM16

Arbeitsauftrag KW18: Verkettung von Funktionen

Das nächste Thema ist die Verkettung von Funktionen.


Zuerst gilt es zu verstehen, was eine zusammengesetzte, d.h. „verkettete“ Funktion ist. Dazu

  • lest Seite 250 im Buch und macht euch klar, was eine Verkettung von Funktionen ist und
  • bearbeitet Übung 1 und 2.

Nun gilt es zu verstehen, was das Problem bei verketteten Funktionen ist. Lies dazu den Abschnitt weiter unten, zieh das Buch zu Rate (S. 255 f.) oder nutze andere Quellen wie

und

  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck $f'(x)$ gemeint ist,
  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck $\frac{df}{dy}$ gemeint ist,
  • mach dir klar, was mit dem Ausdruck die Funktion $f$ nach $x$ ableiten gemeint ist und löse
  • auf Seite 255 / Übung 1 außer c) und d)
  • auf Seite 256 / Übung 2 außer c).

Was ist das Problem bei verketteten Funktionen?

Wenn wir verstanden haben was eine verkettete Funktion ist, widmen wir uns dem Problem, die Ableitung einer Verkettung nach der ursprünglichen Variablen zu finden. Betrachten wir eine Verkettung von zwei Funktionen $f$ und $g$, dann können wir uns die Verkettung $f\big( g(x) \big)$ so vorstellen, dass $x$ zuerst in die Funktion $g$ eingesetzt und das Ergebnis $g(x)$ davon dann in die Funktion $f$ eingesetzt wird. In einem Diagramm können wir das so darstellen:

$$ x\xrightarrow{x \text{ in }g \text{ einsetzen }} g(x) \xrightarrow{g(x) \text{ in } f \text{ einsetzen }} f\big( g(x) \big)$$

Das „Problem“ ist jetzt, wenn wir die Ableitung von $f$ nach $x$ finden wollen, dass die Funktion $f$ als „mittlere Ebene“ dazwischen gestaltet ist — und das macht Dinge ein bisschen komplizierter. Was heißt es überhaupt, nach $x$ abzuleiten? Dazu mehr später.

Ein Beispiel macht das Problem hoffentlich deutlicher:

Nehmen wir als Funktionen $g$ und $f$ mal ganz konkret $$g(x) = 2x+1$$ und $$f(x) = x^2$$ an. Wichtig ist, dass das $x$, dass bei $g$ steht nicht unbedingt das $x$ ist, dass bei $f$ steht. Zur Hilfe können wir bei der äußeren Funktion $f$ die Variable $y$ benutzen, also
$$f(y) = y^2,$$
um die bisherige Konvention $y=g(x)$ beizubehalten. Das hilft, glaubt mir — auch wenn es komisch erscheint!
Dann ist $$y=g(x)= 2x+1$$ und $$f\big(g(x)\big) = f(y) = y^2 = (2x+1)^2.$$
Die Verlockung ist groß, jetzt zu sagen, dass die Ableitung
$$\underbrace{f'(y) = (y^2)‘ = (2x+1)^2 = 2\cdot(2x+1) = 4x + 2 }_{\text{Das ist FALSCH}}$$
ist. Warum das falsch ist, sehen wir später. Was ist, wenn wir erst ableiten, nachdem wir $y$ in $f$ eingesetzt haben? Dann ist das Ergebnis
$$ f'(y) = \big((2x+1)^2\big)‘ =(4x^2 + 4x + 1)‘ = 8x + 4. $$
Was stimmt jetzt? Was ist das richtige Ergebnis für $f’$ (Es ist die zweite Version!)? Wir haben zwei verschiedene Ergebnisse zur Auswahl und das kann nicht sein! Der Teufel steckt hier im Detail.

Es kommt unsere bisherige „faule“ Notation zum Tragen (ich hatte es im Unterricht schon einmal erwähnt). Es ist wichtig, nach welcher Variable wir ableiten (die steht dann im Nenner des Bruches $\frac{d}{dx}$). Wir können unserer bisherigen Ergebnisse präziser mit der Schreibweise $\frac{d}{d x}$ für die Ableitung nach $x$ ausdrücken. Wichtig ist: Unser üblicher Strich für die Ableitung steht ab jetzt immer für die Ableitung nach $x$. Das bedeutet, dass mit
$$g‘ = \frac{d}{dx}(g)$$
die Ableitung von $g$ nach $x$ und mit
$$\frac{d}{dy}(g) $$
gemeint ist. Wenn wir nach $y$ (oder $z$, oder $m$, …) ableiten wollen, können wir nicht die faule Strichnotation benutzen.

Damit schreiben wir unsere Ergebnisse zu
$$ \Big(\frac{d}{dy}f\Big) (y) = 2 y = 4x + 2, $$
und
$$ f'(x) = \Big(\frac{d}{dx}f\Big) (x) = \frac{d}{dx}\Big( f(y)\Big) = \frac{d}{dx}\Big( y^2\Big) = \frac{d}{dx}\Big( (2x+1)^2\Big) = \frac{d}{dx}\Big( 4x^2 + 4x + 1\Big) = 8x + 4$$
um (beachte die Klammern, die die Reihenfolge angeben!). Es gibt kein Problem mehr, denn wir haben ganz klar festgelegt, was der „Strich“ für die Ableitung bedeutet. Es bedeutet immer, dass wir nach $x$ ableiten. Für jede andere Variable $y$, $z$, $m$, $n$ verwenden wir ab jetzt die Schreibweise(n)
$$ \frac{d}{dy},\frac{d}{dz},\frac{d}{dm},\frac{d}{dn} $$
für die entsprechenden Ableitungen.