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SJ1920-EM16

Arbeitsauftrag KW14: Anwendung und Modellierung

Diese Woche soll es darum gehen, die gewonnenen Techniken rund um Exponentialfunktionen und Logarithmen anzuwenden. Der dazugehörige Auftrag lautet

  • auf Seite 226 im Buch alle Aufgaben zu lösen und
    (Lösungen auf Seite 361) und
  • den Text zur Modellierung mit ganzrationalen Funktionen zu lesen und die darin befindlichen Aufgaben zu lösen.

Die Abgabe erfolgt bitte per PDF hier.

Auf den Seiten 212 bis 215 sind typische Aufgaben zu den Exponentialfunktionen zum Üben. Du kannst mich jederzeit auch zu diesen Aufgaben oder anderen Matheaufgaben befragen.

Modellierung mit ganzrationalen Funktionen

Die folgende Aufgaben hat zwei Lernziele:

  • die näherungsweise Modellierung mit ganzrationalen Funktionen mit der Modellierung mit Exponentialfunktionen und die Vor-/Nachteile beider Varianten vergleichen und
  • Rekonstruktionen (vgl. Fluss-Straße-Bahn-Aufgabe der letzten Klausur) mit höheren Ableitungen wiederholen

In Aufgabe 1 auf auf Seite 221 zeigt in einer Tabelle den Verlauf eines Prozesses an. Zusätzlich ist die Differenz $\Delta y$ aufeinanderfolgender $y$-Werte und die zweite Differenz $\Delta(\Delta y)$ in der dritten und vierten Zeile ergänzt. Diese Differenzen ergeben sich immer aus der Zahl direkt oberhalb und der Zahl eine Position links oberhalb. Also $$\Delta y (1) = 3,60 – 3,00 = 0,6$$ oder $$\Delta^2 y(2) = 0,72-0,6 = 0,12$$

x 0 1 2 3 4 5 6
y 3,00 3,60 4,32 5,10 6,22 7,46 8,96
Δ y   0,6 0,72 0,78 1,12 1,24 1,5
Δ2 y     0,12 0,06 0,34 0,12 0,26
Δ3 y       -0,06      

WICHTIG: Wenn du das Zustandekommen der $\Delta$-Zeilen nicht verstehst, liegt das nicht an dir. Frag unbedingt bei mir (oder anderen) nach (https://chat.vdegner.de)! Es ist eigentlich einfach zu verstehen, aber umständlich aufzuschreiben.

Aufgabe 1: Berechne die Zeile $\Delta^3 y$, also die dritten Differenzen. Ein Beispiel ist in der dritten Spalte der Tabelle gegeben.

Diese Differenzen können wir als ungefähre Werte der ersten, zweiten und dritten Ableitung einer Funktion $f$ benutzen. So können wir eine Modellfunktion bestimmen, die den Verlauf des Prozesses näherungsweise beschreibt.

Aufgabe 2: Stelle einer ganzrationale Modellfunktion $f$ mit
$$ f(x) = a x^2 + bx + c$$
auf und bestimme die Parameter $a,b$ und $c$ so, dass die Funktion $f$ den Bedingungen
$\begin{align}
f(5) &= 7.46 \\
f'(5) &= 1.24 \\
f“(5) &= 0.12
\end{align}$
aus der Tabelle oben genügt.

Zur Kontrolle: $a=0.06, b=0.64, c=2.76$

Aufgabe 3: Zeichne die Punkte $(x \mid y)$ aus der Tabelle und den Graph von $f$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Tipp: Jetzt ist ein guter Zeitpunkt, sich mit dem Programm Geogebra auseinanderzusetzen. Ihr könnt es hier direkt im Browser benutzen.

Soweit so gut. Hier ist ein guter Punkt, um eine Pause einzulegen.

Was wohl geschehen mag, wenn wir unser Modell um einen Term mit $x^3$ erweitern? Anders gefragt: Was ändert sich am Modell, wenn wir stattdessen den Ansatz $$g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ verwenden?

Aufgabe 4: Beschreibe, welche Änderungen sich durch das Hinzufügen des zusätzlichen Terms deiner Meinung nach ergeben werden. Beschreibe auch, welche Änderungen am Graphen du erwartest.

Aufgabe 5: Bestimme jetzt die Parameter $a,b,c$ und $d$ für die Modellfunktion $g$ so, dass sie den Bedingungen

$\begin{align}
g(5) &= 7.46 \\
g'(5) &= 1.24 \\
g“(5) &= 0.12 \\
g^{“‘}(5) &= -0,22
\end{align}$
aus der Tabelle oben genügt.

Kontrolle ($a=-0.03666…, b=0.61, c=-2.11, d=7,343333…..$)

Aufgabe 6: Zeichne die Punkte $(x \mid y)$ aus der Tabelle sowie die Modellfunktionen $f$ und $g$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschreibe, inwiefern sich deine Erwartungen bestätigt haben oder vom Ergebnis abweichen.

Aufgabe 7 (freiwilliger Zusatz): Stell die passende Modellfunktion $$h(x) = ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx +e$$ auf, indem du die Parameter $a,b,c,d$ und $e$ aus der Tabelle und einer zusätzlichen Zeile $\Delta^4 y$ analog zu vorher bestimmst.

Aufgabe 8: Vergleiche die beiden Modelle mit dem Exponentialansatz aus Aufgabe 1 auf Seite 226, indem du alle Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnest.

  • Beschreibe Bereiche, in denen ein Modell den anderen klar überlegen ist, d.h. den Verlauf der Punkte $(x, \mid y)$ besser widergibt.
  • Erkläre Vor- und Nachteile des Exponentialmodells.
  • Erkläre Vor- und Nachteile der ganzrationalen Modelle.