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SJ1920-EM16

Arbeitsauftrag KW13: natürlicher Logarithmus, Logarithmengesetze, Umrechnung von Logarithmen, Exponentialgleichungen

Heute gibt es viel zu lesen! Das ist nicht, um euch zu ärgern, sondern weil ich versucht habe, alles zu erklären. Wer verstanden hat, was die Bedeutung des Logarithmus ist, wird mit den Aufgaben kein Problem haben und weiß vielleicht schon alles, was im Text steht..

Die Lernziele für heute sind

  • die Definition des natürlichen Logarithmus erklären können,
  • die Rechenregeln für Logarithmen anwenden können,
  • Logarithmen zu anderen Basen ineinander umrechnen können
  • und Exponentialgleichungen lösen können.

Wer zum ersten Mal etwas von Logarithmen hört, sollte es langsam angehen lassen und die vier Punkte Stück für Stück abarbeiten. Ihr habt dafür Zeit bis nächsten Freitag (27.03.).

Die natürliche Logarithmusfunktion

Heute sind Logarithmen als Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen das Thema, um Gleichungen zu lösen, in denen das $x$ im Exponenten steht, wie zum Beispiel die Gleichung

$$e^x = 100.$$

Wir lösen die Gleichung jetzt noch nicht, sondern erst später. Aber es dreht und wendet sich bei Logarithmen alles darum, dass wir

ein $x$ in einer Gleichung bestimmen möchten, dass im Exponenten steht.

Das ist schwer und war es auch schon immer. Die historische Entwicklung hat dazu geführt, dass die Notation nichts ist, was die Beziehung der beteiligten Zahlen zueinander widerspiegelt. Es ist eine Notation, die sich irgendjemand mal ausgedacht und die sich durchgesetzt hat. Ihr müsst sie jetzt leider lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Also machen wir uns ans Werk.

Im Buch ist das Vorgehen auf den Seiten 222 bis 224 beschrieben. Wir fangen mit dem natürlichen Logarithmus an, weil wir den letztendlich für alles benutzen werden.

Zunächst definieren wir, was die natürliche Logarithmusfunktion überhaupt ist.

Die natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.

Was das bedeutet, machen wir uns an einem Beispiel klar. Betrachten wir die Zahl $x=2$. Wenn wir die e-Funktion $f$ mit $f(x) = e^x$ auf diese Zahl 2 anwenden, dann erhalten wir

$$f(2) = e^2 \approx 7,3890…$$

Die natürliche Logarithmusfunktion wird mit „$\ln$“ abgekürzt. Wenden wir sie auf das Ergebnis $(7,3890…)$ von gerade eben an, erhalten wir wieder die Zahl $2$, mit der wir angefangen haben. $$\ln(7,3890…) = 2$$ Die $\ln$-Funktion kehrt die Wirkung der e-Funktion um. Deshalb heißen die beiden auch Umkehrfunktionen. Das kann man auch als Pfeilkette

$$2 \xrightarrow{\text{e-Ftk.}} 7,3890… \xrightarrow{\ln} 2 $$

oder

$$2 \xrightarrow{\text{e-Ftk.}} e^2 \xrightarrow{\ln} 2 $$

aufschreiben. Der letzte Pfeil stellt quasi die Gleichung

$$\ln(e^2 )= 2$$

dar. Wir haben die Zahl $x=2$ einfach zufällig ausgewählt. Es ändert sich aber nichts, wenn wir irgendeine andere Zahl für $x$ einsetzen. Es gilt also

$$ \ln(e^x) = x \qquad$$

für jede reelle Zahl $x\in\mathbb{R}$.

Auch die Richtung des Pfeildiagramms können wir umdrehen und erhalten

$$2 \xleftarrow{\text{e-Ftk.}} \ln(2)\approx 0,6931… \xleftarrow{\ln} 2,$$

was der Gleichung

$$ e^{\ln(2)} = 2$$ entspricht. Den Zahlenwert $(0,6931…)$ kann man natürlich mühsam von Hand berechnen, aber die Werte lassen sich auch mit der „$\ln$“-Taste des Taschenrechners berechnen. Es gilt auch hier für jede andere Zahl $x$ die Gleichung

$$e^{\ln(x)} = x,$$

aber nur, wenn die Zahl $x$ positiv ist.

Zurück zur Ausgangsgleichung. Wir können die Gleichung

$$e^x = 100$$

mit dem natürlichen Logarithmus „$\ln$“ lösen. Die Lösung lautet

$$e^x = 100 \\ \ln (e^x) = \ln(100) \\ x = \ln(100) \approx 4,6051…$$

Logarithmengesetze

Es gibt Rechengesetze für Logarithmen, das sind aber eigentlich nur die Gesetze zur Exponentialrechnung. Wir setzen für das folgende die Variablen $a=e^x$ und $b=e^y$ fest (es wird gleich klar, warum). Die „alten“ Gesetze zur Exponentialrechnung lauten dann

$$a \cdot b = e^x \cdot e^y= e^{x + y}.$$

Was vielleicht noch nicht allen bewusst ist, aber trotzdem gilt: Wenn wir auf beiden Seiten die e-Funktion oder den natürlichen Logarithmus anwenden (das klappt nicht immer!), ist das jeweils auch eine Äquivalenzumformung. Wir können also jetzt rechts und links den natürlichen Logarithmus anwenden. Wenn wir das machen, erhalten wir

\begin{align}
a \cdot b &= e^x \cdot e^y= e^{x + y} \\
a \cdot b &= e^{x + y}&\mid \ln(…) \\
\ln(a\cdot b) &= \ln (e^{x + y}) \\
\ln(a\cdot b) &= x + y.
\end{align}

Die Gleichung enthält jetzt $a,b,x$ und $y$. Das können wir vereinfachen! Dazu lösen wir $a=e^x$ und $b=e^y$ jeweils nach $x$ und $y$ auf und erhalten

\begin{align}
x &= \ln(a) \\
y &= \ln(b).
\end{align}

Das in die Gleichung von oben ein und bekommen ein Logarithmusgesetz

$$ \ln (a\cdot b) = \ln (a) + \ln (b) $$

Mit völlig analogem Beweis gelten auch die Gesetze

$$ \ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln (a) – \ln (b) $$

und

$$ \ln \left( a^r \right) = r\cdot \ln (a). $$

Logarithmus zu einer anderen Basis

So wie der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur e-Funktion, also der Exponentialfunktion zur Basis $e$ ist, so gibt es für jede Basis quasi eine eigene Logarithmusfunktion.

Der Logarithmus zur Basis 10 ist auch als „Zehnerlogarithmus“ oder „dekadischer Logarithmus“ bekannt und manchmal (z.B. auf dem Taschenrechner) mit $\log$ abgekürzt. Er funktioniert prinzipiell genau so wie der natürliche Logarithmus zur Basis $e$, aber eben mit der Basis 10. Es gilt

$$ \log(10^x) = x \quad \mid \text{für } x\in\mathbb{R}$$

und

$$ 10^{\log x} = x \quad \mid \text{für } x\in\mathbb{R}^+.$$

Die Wahl von $e$ oder 10 als Basis ist aber kein Zwang! Das ganze funktioniert mit jeder Basis. Die Schreibweise des Logarithmus

$$ \log_{\text{Basis}}(y) = x $$

liest sich dann so:

„Wenn man die Basis hoch $x$ nimmt, ist das Ergebnis die Zahl $y$.

In dieser ausführlichen Schreibweise ist der natürliche Logarithmus

$$\ln x = \log_e x$$

und der Zehnerlogarithmus (sehr uneindeutig und deshalb in mathematischen Texten eigentlich nie ohne Erklärung benutzt)

$$ \log x= \log_{10} x.$$

Der Logarithmus von $x$ zur Basis $2$ wird also „$\log_2 x$“ (oder mit Klammern „$\log_2 (x)$“) geschrieben.

Es gilt

\begin{align}
\log_2 (8) &= 3, \qquad \text{ da } 2^3 = 8 \text{ ist,} \\
\log_{10} (100) &= 2, \qquad \text{ da } 10^2 = 100 \text{ ist,} \\
\ln (e^5) &= 5, \qquad \text{ (Definition des Logarithmus), } \\
\log_{13}(13^{-4}) &= -4 \qquad \text{ usw.}
\end{align}

Das heißt aber nicht, dass man für jede Basis eine neue Logarithmusfunktion lernen und anwenden muss! Man kann alles auf den natürlich Logarithmus bzw. die e-Funktion zurückführen! Deshalb haben wir direkt damit angefangen. Wie das geht, zeigen wir an einem Beispiel. Nehmen wir an, wir wollen eine Gleichung

$$2^x = 100$$

lösen. Dann können wir zuerst auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden, in etwas so:

\begin{align}
2^x &= 100 &\big| \ln(…) \\
\ln \left(2^x\right) &= \ln 100 &\big| \text{Logarithmengesetz} \\
\ln(2) \cdot x &= \ln 100
\end{align}

Wenn wir jetzt auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden erhalten wir

\begin{align}
\ln(2) \cdot x &= \ln 100 & \big| e^{(…)} \\
e^{\ln(2) \cdot x} &= e^{\ln 100} \\
e^{\ln(2)\cdot x} &= 100.
\end{align}

Also gilt, dass

$$2^x = 100$$

und

$$e^{\ln(2) \cdot x} = 100$$

äquivalente Gleichungen sind. Das ganze gilt ganz allgemein für jede Basis $a>0$. Also sind

$$a^x = 100$$

und

$$e^{\ln(a) \cdot x} = 100 $$

äquivalent. Wir können alles mit dem natürlichen Logarithmus ausrechnen. Und weil das klappt, gibt es auch nur die „$\ln$“- und die „$\log$“-Taste auf dem Taschenrechner! Der natürliche Logarithmus ist da, weil die Ableitung wieder die gleiche Funktion ist und der Zehnerlogarithmus, weil sich das Zehnersystem als Zahlensystem durchgesetzt hat. Es gibt keine „$\log_2$“-Taste. Da muss man also umrechnen.

Aufgaben

  • Alternative Erklärungen zur natürlichen Logarithmusfunktion:
    • Lesen Sie im Buch S. 222 bis 224.
    • Schauen Sie das Video von Daniel Jung.
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Lösungen der Aufgaben